Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ich fasse nochmal ganz kurz zusammen, was wir das letzte Mal gesehen haben. Da können Sie auch

schauen, wie weit Sie noch sozusagen am Ball sind. Also wir hatten insbesondere einen Satz von

Kelly Hamilton gesehen, der sagt, wenn ich ein Polynom in sein charakteristisches Polynom,

eine Matrix, eine quadratische Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetze, dann

kommt da die Nullmatrix heraus. Das ist also eine Aussage darüber, dass es durchaus auch

für invertierbare Matrizen eine ganz spezielle Linearkombination von Potenzen dieser einen

Matrix gibt, die dann verschwindet. Das ist ein theoretisches Hilfsmittel, was wir schon angewendet

haben und es öfter noch anwenden werden. Wir haben gesehen, stark im Zusammenhang mit

dem charakteristischen Polynom ist das Minimalpolynom. Wenn es, also wie der Satz von Kelly Hamilton

sagt, ein Polynom gibt, das die Eigenschaft hat, dass die Matrix eingesetzt, die Nullmatrix

entsteht, gibt es natürlich auch viele, viele andere dieser Polynome. Man muss das Polynom

nur mit der weiteren polynomialen Faktoren multiplizieren. Insbesondere gibt es auch ein

Polynom kleinsten Grades und dieses Polynom, normiert auf den Leitkoeffizienten eins, nennen

wir Minimalpolynom. Das Minimalpolynom teilt also insbesondere das charakteristische Polynom,

das heißt also, das hatten wir auch dann genauer gesehen, es hat genau die Nullstellen, die auch

das charakteristische Polynom hat, das heißt die Eigenwerte und zum einen aber eben im Allgemeinen

mit geringerer Vielfachheit. Diese eventuell verringerte Vielfachheit der Nullstelle, also

kleiner dann als die algebraische Vielfachheit, sozusagen dieses Eigenwert, das wird noch im

Rahmen der Jordan Normalform eine Rolle spielen. Darauf aufbauend hatten wir dann gesehen,

dass wenn es überhaupt eine Zerlegung in invariante Teilräume gibt, was nichts anderes ist als zu

fragen, gibt es denn eine Basisdarstellung, sodass in dieser Basis die Darstellung blockdiagonal ist,

dann geht das nur mit den sogenannten Haupträumen. Die Haupträume sind lineare Unterräume, die im

Allgemeinen größer sind als die Eigenräume. Beim Eigenraum für die Matrix C und dem Eigenwert

Lambda wird ja gefordert, dass der Vektor X, eben der Eigenvektor unter C minus Lambda mal Identität

verschwindet. Bei einem Hauptvektor muss das noch nicht der Fall sein, da kann man dann noch

mal mit dem gleichen Operator draufhauen und schauen, ob dann wenigstens Null rauskommt oder

noch mal draufhauen. Das heißt also beim Hauptvektor wird nur gefordert, dass irgendeine

Potenz dieses Operators C minus Lambda eins dazu führt, dass der Vektor X im Kern davon liegt.

Diese Haupträume bilden eine direkte Summe und sind die einzigen Kandidaten, soweit waren wir,

für eine solche Blockdiagonalisierung bzw. eben äquivalent für eine solche Zerlegung des Raums

in invariante Unterräume. Gut, jetzt wollen wir schauen, gibt es überhaupt so eine Zerlegung?

Das kann man auch sich sozusagen abstrakt, algebranisch auf der Basis des charakteristischen

Polynoms bzw. des Minimalpolynoms überlegen. Wir dürfen aber nie vergessen, selbst wenn das

Dinge sind, die wir für kleine Beispiele algorithmisch umsetzen können und das werden

wir auch machen, natürlich auch insbesondere deswegen machen, weil irgendjemand der Klausuraufgaben

für das Lehramt stellt, da einen Narren daran gefressen hat, was für mich völlig unnachvollziehbar

ist und wenn ich die freie Wahl hätte des Stoffes, hätte dieser Stoff wahrscheinlich nicht diese

Bedeutung hier. Oder anders gesagt, ich kann die Jorder-Normalform auch nicht ausstehen und ich

kenne eigentlich keinen, der sie ausstehen kann, aber wir müssen es halt jetzt nun mal tun, weil

eben die Klausuraufgaben im Lehramt nun mal so sind. Okay, aber ich, man kann dem Ganzen auch schon

ein paar strukturelle und interessante Dinge abgewinnen. Also zurück, so wie wir an die Sache

herangehen, ist ja ein bisschen fiktional. Wir glauben immer, wir können das charakteristische

Polynom aufstellen, wir können dann die Eigenwerte ausrechnen, das heißt wir trennen immer ab die

Bestimmung der Eigenwerte und alle weitere Vorgehensweise. Das ist wie gesagt für zwei,

drei, vierdimensionale, fünfdimensionale Matrizen durchaus sinnvoll, aber wir haben das schon

mehrfach diskutiert, für ein wirklich großes Problem ist das illusionär, aus vielerlei Gründen.

Deswegen wollen wir jetzt nicht diesen Weg gehen und sagen, okay, wir haben das charakteristische

Polynom und überlegen uns auf dieser Basis, wie das jetzt ist mit der Existenz dieser angesprochenen

Invariantenzerlegung, sondern wir machen das rein algorithmisch jetzt auf der Basis von Matrizen und